Jeżeli w ułamku wymiernym rozłożymy wielomian występujący w mianowniku tego ułamka na czynniki, to w rozkładzie pojawią się jedynie czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach. W związku z tym podamy następujące definicje tak zwanych ułamków prostych jedynie dwóch rodzajów. W ułamku prostym pierwszego rodzaju, w mianowniku jest czynnik liniowy w pewnej potędze, a w liczniku stała. Natomiast w ułamku prostym drugiego rodzaju, w mianowniku jest nierozkładalna na iloczyn funkcja kwadratowa w pewnej potędze, a w liczniku czynnik liniowy.
Funkcję postaci \( f(x)=\frac{ A }{ (x-a)^k } \) , gdzie \( a,A \in \mathbb{ R } \) i \( k \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju .
Funkcję \( f(x)=\frac{ Bx+C }{ (x^2+bx+c)^l } \), gdzie \( b,c,B,C \in \mathbb{ R } \), \( l \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) oraz wielomian \( x^2+bx+c \) jest wielomianem nieposiadającym pierwiastków, tzn. \( \Delta =b^2-4c<0 \) nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju .
Twierdzenie 1: o rozkładzie ułamka wymiernego na ułamki proste
Każdy ułamek wymierny \( W(x)=\frac{ P(x) }{ Q(x) } \) \( \left( st.P(x) < st.Q(x) \right) \), można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci sumy ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju.
Uwaga 1:
1. Jeśli w rozkładzie na czynniki wielomianu \( Q(x) \) z mianownika ułamka wymiernego \( \frac{ P(x) }{ Q(x) } \) występuje czynnik liniowy \( (x-a)^k \) o krotności \( k \), gdzie \( k\in \mathbb{N} \backslash \{ 0\} \), to temu czynnikowi o krotności \( k \) w rozkładzie ułamka wymiernego na ułamki proste odpowiada suma \( k \) ułamków prostych pierwszego rodzaju
gdzie \( A_i \in \mathbb{ R } \) dla \( i={ 1,2,...,k } \) są nieznanymi liczbami, które trzeba wyliczyć.
2. Jeśli w rozkładzie na czynniki wielomianu \( Q(x) \) z mianownika ułamka wymiernego \( \frac{ P(x) }{ Q(x) } \) występuje czynnik \( (x^2+bx+c)^l \) o krotności \( l \), gdzie \( l\in \mathbb{N} \backslash \{ 0\} \), to temu czynnikowi o krotności \( k \) w rozkładzie ułamka wymiernego na ułamki proste odpowiada suma ułamków prostych drugiego rodzaju
przy czym \( B_j, C_j \in \mathbb{ R } \) dla \( j={ 1,2,...,l } \), i są to nieznane są liczby \( B_j, C_j, \) które trzeba wyliczyć.
Przykład 1:
Rozłóżmy na ułamki proste ułamek wymierny
(3)
\( \frac{ P(x) }{ Q(x) }=\frac{ 4 }{ x^3-6x^2+11x-6 }, st. P(x) < st. Q(x). \)
Pierwszą rzeczą, którą musimy wykonać, jest rozłożenie wielomianu \( Q(x \)) z mianownika na czynniki.
W rozkładzie \( Q(x) \) na iloczyn występują jedynie czynniki liniowe, a więc w rozkładzie na ułamki proste pojawią się jedynie ułamki proste pierwszego rodzaju, a mianowicie
(4)
\( \frac{ P(x) }{ Q(x) }=\frac{ 4 }{ x^3-6x^2+11x-6 }=\frac{ 4 }{ (x-1)(x-2)(x-3) }=\frac{ A }{ x-1 }+\frac{ B }{ x-2 }+\frac{ C }{ x-3 }. \)
Mnożąc powyższe równanie przez mianownik lewej strony (tj. \( Q(x) \)) otrzymujemy równanie
(5)
\( 4=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2), \)
które ma być spełnione dla dowolnej wartości zmiennej \( x \). Wybierając \( x=1, x=2 \) i \( x=3, \) natychmiast otrzymujemy szukane liczby
\( \begin{cases} A=2 \\B=-4 \\C=2 .\end{cases} \)
Zatem szukany rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste ma postać
\( \frac{ P(x) }{ Q(x) }=\frac{ 3x+2 }{ x^2+6x+9 }, st. P(x) < st. Q(x). \)
Zauważmy, że w mianowniku mamy wzór skróconego mnożenia, czyli czynnik liniowy \( (x+3) \) krotności 2, a zatem otrzymujemy następujący rozkład na ułamki proste pierwszego rodzaju
ponieważ w rozkładzie na czynniki wielomianu \( Q(x) \) jest czynnik liniowy \( (x-1) \) krotności 2 oraz nierozkładalny czynnik kwadratowy \( (x^2+1) \) krotności 1. Czynnik \( (x-1)^2 \) dyktuje dwa ułamki proste pierwszego rodzaju, zaś czynnik \( (x^2+1) \) dyktuje jeden ułamek prosty drugiego rodzaju.
Mnożąc przez mianownik lewej strony równania dostajemy równanie wielomianów
które ma być spełnione dla dowolnej liczby rzeczywistej \( x \). Zatem wybierając cztery dowolne liczby otrzymamy warunki na szukane liczby (tutaj wybierzemy \( x=1, x=0, x=-1, x=2 \)
